Практическая работа №1: Решение нелинейных уравнений и систем

Цель работы

Сформировать представление о методах решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений, выработать умение составлять и применять алгоритмы для решения уравнений и систем уравнений, привить навык использования программных средств для решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений.

Постановка задачи

Численно решить уравнение и систему уравнений методами Ньютона и простых итераций с заданной точностью . Значение варьируется от 0.1 до 0.000001.

Порядок выполнения работы

При решении уравнения :

Графически или аналитически отделить корни уравнения , т.е. найти отрезки , на которых функция удовлетворяет условиям теоремы Больцано-Коши.

Составить подпрограмму вычисления функции .

Для метода Ньютона:

Составить программу newton() для вычисления корня уравнения методом Ньютона с заданной точностью .

Провести вычисления по программе для каждого корня. Заполнить табл. 1 при различных значениях . Сделать выводы.

Для наименьшего корня (для нечётных вариантов) и для наибольшего корня (для чётных вариантов) заполнить табл. 2 при . Сделать выводы.

Теоретически и экспериментально исследовать скорость сходимости и обусловленность метода. Сделать выводы

Для метода простых итераций:

Привести уравнение к виду , где , -- некоторая константа. Проверить функцию на сходимость. Составить программу phi() для функции , удовлетворяющей сходимости.

Составить программу siter() для вычисления корня уравнения методом простых итераций с заданной точностью .

Провести вычисления по программе для каждого корня. Заполнить табл. 1 при различных значениях . Сделать выводы.

Для наименьшего корня (для нечётных вариантов) и для наибольшего корня (для чётных вариантов) заполнить табл. 3 при . Сделать выводы.

Теоретически и экспериментально исследовать скорость сходимости и обусловленность метода. Сделать выводы.

При решении системы уравнений :

Графически отделить решения системы нелинейных уравнений .

Составить подпрограммы для вычисления функций и . Составить подпрограмму вычисления системы .

Для метода Ньютона:

Составить программу newts() для вычисления решений системы уравнений методом Ньютона с заданной точностью .

Провести вычисления по программе для каждого корня. Заполнить табл. 4 при указанных значениях . Сделать выводы.

Для одного из корней заполнить табл. 5 при . Сделать выводы.

Для метода простых итераций:

Привести систему к виду , где , -- некоторая мажорирующая матрица. Проверить матрицу на сходимость. Составить программу Phi() для функции , удовлетворяющей сходимости.

Составить программу siters() для вычисления решения системы уравнений методом простых итераций с заданной точностью .

Провести вычисления по программе для каждого корня. Заполнить табл. 4 при указанных значениях . Сделать выводы.

Для одного из корней заполнить табл. 6 при . Сделать выводы.

Таблицы

Таблица 1

Значение	Значение	Значение	Число итераций
0.1
...

Таблица 2

Значение	Значение	Значение	Значение	Значение
0
...

Таблица 3

Значение	Значение	Значение
0
...

Таблица 4

Значение	Значение	Значение	Число итераций
0.1
...

Таблица 5

Значение	Значение	Значение	Значение	Значение
0
...

Таблица 6

Значение	Значение	Значение
0
...

Варианты заданий

Выполнение работ осуществляется по индивидуальным вариантам заданий (уравнений и систем уравнений). Номер варианта для каждого студента определяется преподавателем.

Варианты к практической работе №1