Практическая работа №2: Интерполирование функций

Цель работы

Научиться применять интерполирование функции для решения практических задач, овладеть навыками применения интерполяционных формул Лагранжа заданной степени, многочленов Ньютона. Научиться оценивать погрешности интерполяционных формул и работать в программных пакетах с целью проверки полученных результатов.

Основные теоретические положения

Пусть значение известно в некоторых точках , и необходимо найти : . Для этих целей, функцию приближают функцией : где -- произвольный базис, удобный для данной . Задача интерполяции -- найти обобщённый многочлен. Существует несколько способов нахождения, например, метод Лагранжа. Он даёт готовый интерполяционный многочлен Лагранжа: где -- значение функции в узле , а -- -ый базисный полином.

Если узлы, в которых определено значение являются равноотстоящими, т.е. , , , тогда можно воспользоваться интерполяционным многочленом Ньютона: где -- конечная разность -го порядка, .

Многочлен Чебышёва первого рода характеризуется как многочлен степени со старшим коэффициентом , который меньше всего отклоняется от нуля на отрезке Для натурального узлы на промежутке задаются формулой: Это корни многочлена Чебышёва первого рода степени .

Для получения узлов на произвольном отрезке , можно применить следующую формулу: После нахождения интерполяционного многочлена, необходимо вычислить и оценить его погрешность. Должно выполнятся следующее неравенство: где -- промежуток интерполирования, , , . Левая часть неравенства является практической погрешностью, а правая -- теоретической.

Постановка задачи

Построить интерполяционный многочлен по 2, 3, 4, 5 и 6 узлам (равноотстоящим и чебышёвским) для функции на промежутке по равноотстоящим и по чебышёвским узлам. Найти фактическую погрешность и сравнить её с теоретической оценкой.

Порядок выполнения работы

Реализовать функцию f() для вычисления значений в функции .

Реализовать функцию df(), вычисляющая -ую производную функции . Данную функцию можно реализовать с помощью switch, предварительно посчитав производные в символьном виде, например, в Wolfram.

Реализовать функцию, вычисляющую интерполяционный многочлен по методу Лагранжа lagrange() (для нечётных вариантов) или Ньютона newti() (для чётных вариантов).

Построить график полученного интерполяционного многочлена -го порядка по равномерной сетке и функции в одном окне. Отметить на графике узлы интерполяции. Выписать полученный интерполяционный многочлен с точностью коэффициентов до 7 знаков после запятой.

Аналогично выполнить построение для чебышёвской сетки.

Заполнить таблицу для каждой сетки и сделать выводы:

Значение	1	2	3	4	5
Значение
Значение
Значение
Значение
Значение

Варианты заданий

Выполнение работ осуществляется по индивидуальным вариантам заданий (коэффициентам функции). Номер варианта для каждого студента определяется преподавателем.

task2-vars

Содержание отчёта

Цель работы.

Краткое изложение основных теоретических понятий.

Постановка задачи с кратким описанием порядка выполнения работы.

Графики интерполяционных многочленов и их вид.

Таблицы для оценки погрешности.

Общий вывод по проделанной работе.

Код программы.