Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- courses:computational_mathematics:prac2 [2021/06/14 19:32]
andrey.suchkov [Постановка задачи]
+++ — (current)
@@ Line 1: / Line 1: @@
-====== Практическая работа №2: Изучение понятия обусловленности вычислительной задачи ======
-===== Цель работы =====
-Исследование обусловленности задачи нахождения корня уравнения на примере линейной функции.
-===== Основные теоретические положения =====
-Под обусловленностью вычислительной задачи понимают чувствительность ее решения к малым погрешностям входных данных.
-Задачу называют хорошо обусловленной, если малым погрешностям входных данных отвечают малые погрешности решения, и плохо обусловленной, если возможны сильные изменения решения. Количественной мерой степени обусловленности вычислительной задачи является число обусловленности, которое можно интерпретировать как коэффициент возможного возрастания погрешностей в решении по отношению к вызвавшим их погрешностям входных данных. Пусть между абсолютными погрешностями входных данных $x$ и решения $y$ установлено неравенство:
-\[
-  \Delta(y^*) \leqslant \nu_{\Delta}\Delta(x^*),
-\]
-где $ x^* $ и $ y^* $ -- приближённые входные данные и приближённое решение соответственно. Тогда величина $ \nu_{\Delta} $ называется абсолютным числом обусловленности.
-Если же установлено неравенство
-\[
-  \delta(y^*) \leqslant \nu_{\delta}\delta(x^*),
-\]
-между относительными ошибками данных и решения, то величину $ \nu_{\delta} $ называют относительным числом обусловленности. Для плохо обусловленной задачи $ \nu \gg 1 $. Грубо говоря, если $ \nu = 10^N $, где $ \nu $ -- относительное число обусловленности, то порядок $ N $ показывает число верных цифр, которое может быть утеряно в результате по сравнению с числом верных цифр входных данных.
-Ответ на вопрос о том, при каком значении $ \nu $ задачу следует признать плохо обусловленной, зависит, с одной стороны, от предъявляемых требований к точности решения и, с другой, -- от уровня обеспечиваемой точности исходных данных. Например, если требуется найти решение с точностью 0.1%, а входная информация задается с точностью 0.02%, то уже значение $ \nu = 10 $ сигнализирует о плохой обусловленности. Однако, при тех же требованиях к точности результата, гарантия, что исходные данные задаются с точностью не ниже 0.0001%, означает, что при $ \nu = 10^3 $ задача хорошо обусловлена.
-Если рассматривать задачу вычисления корня уравнения $ y = f(x) $, то роль числа обусловленности будет играть величина
-\[
-  \nu_{\Delta} = \frac1{|f'(\xi)|},
-\]
-где $ \xi $ -- корень уравнения.
-===== Постановка задачи =====
-Используя программу //task2.exe//, исследовать обусловленность задачи нахождения корня уравнения $ f(x) = 0 $ для линейной функции $ f(x) = c(x - d) $. Значения функции $ f(x) $ следует вычислить приближенно с точностью ''delta'', варьируемой в пределах 0.1÷0.000001.
-===== Порядок выполнения работы =====
-  - Графически или аналитически отделить корень уравнения $ f(x) = 0 $, т.е. найти отрезки $ [a, b] $, на которых функция удовлетворяет условиям применимости метода бисекции.
-  - Запустить m-скрипт ''condition.m''.  Ввести значения, необходимые для запуска программы.
-  - Провести вычисления по программе, варьируя значения параметров ''c'' (тангенс угла наклона прямой), ''epsilon'' (точность вычисления корня) и ''delta'' (точность задания исходных данных).
-  - Проанализировать полученные результаты и обосновать выбор точности ''epsilon'' вычисления корня. Сопоставить полученные теоретические результаты с экспериментальными данными.
-<note important>
-Значение параметра $ d $ выбирается каждым студентом самостоятельно и согласовывается с преподавателем.
-</note>
-===== Содержание отчёта =====
-  * Цель работы.
-  * Краткое изложение основных теоретических понятий.
-  * Постановка задачи с кратким описанием порядка выполнения работы.
-  * Таблицы с вычислениями при различных вариациях параметров.
-  * Краткие выводы по полученным результатам.
-  * Общий вывод по проделанной работе.
-  * Код программы.
-===== Тексты программ =====
-==== Исследование обусловленности задачи нахождения корня линейного уравнения ====
-<file octave condition.m>
-## TASK2
-## Studying the concept of conditionality
-## of a computational problem
-format long g
-function [x, k] = bisect (a, b, c, d, epsilon, delta)
-  Eps = abs (epsilon) * 2;
-  fa = f (a, c, d, delta);
-  fb = f (b, c, d, delta);
-  k = 0;
-  if (fa * fb > 0)
-    error ("\aInvalid interval setting!!!\n")
-  endif
-  if (epsilon <= 0)
-    error ("\aInvalid accuracy setting!!!\n")
-  endif
-  if (fa == 0)
-    x = fa;
-    return
-  endif
-  if (fb == 0)
-    x = fb;
-    return
-  endif
-  while (b - a >= Eps)
-    x = 0.5 * (a + b);
-    y = f (x, c, d, delta);
-    if (y == 0)
-      return
-    elseif (y * fa < 0)
-      b = x;
-    else
-      a = x;
-      fa = y;
-    endif
-    k++;
-  endwhile
-endfunction
-function y = f (x, c, d, delta)
-  s = c * (x - d);
-  S = s / delta + merge (s / delta < 0, -0.5, 0.5);
-  s = S * delta;
-  y = Round (s, delta);
-endfunction
-function r = Round (x, delta)
-  if (delta <= 1e-9)
-    error ("\aInvalid setting of rounding precision!!!\n")
-  endif
-  r = delta * (x / delta + merge (x > 0, 0.5, -0.5));
-endfunction
-## Begin script
-epsilon = input ("Enter 'eps': ");
-c = input ("Enter 'c': ");
-d = input ("Enter 'd': ");
-a = input ("Enter 'a': ");
-b = input ("Enter 'b': ");
-delta = input ("Enter 'delta': ");
-[x, k] = bisect (a, b, c, d, epsilon, delta);
-printf ("\nx = %.14f,\tk = %u\n", x, k), format short
-</file>

se.moevm.info

User Tools

Site Tools

Differences

Page Tools