Практическая работа №4: Численное дифференцирование

Цель работы

Проверить правильность порядка точности и определить наивысшую достижимую точность (наименьшую погрешность) в стандартном режиме вычислений с плавающей точкой (8-байтовые числа, типа double) для пяти разностных формул численного дифференцирования.

Постановка задачи

Сравнить точные значения , с конечноразностными первыми производными 1-го, 2-го и 4-го порядков точности и конечноразностными вторыми производными 2-го и 4-го порядков точности, вычисляемыми по последовательно уменьшающимися вдвое значениям шага, если , . Значения , , , берутся из п/р №2.

Порядок выполнения работы

Реализовать функции для вычисления точных значений , , .

Реализовать функции для вычисления приближённых формул 1-го, 2-го и 4-го порядка точности, а также 2-го и 4-го порядка точности.

Вычислить точные значения производных с точностью до 15-ти знаков после запятой.

Посчитать погрешности (разности между точными значениями соответствующей производной и полученными по каждой из пяти разностных формул) при последовательных уменьшениях шага в два раза.

Результаты для каждой формулы вывести в виде таблицы. Таблица должна состоять из трёх колонок: номер шага, сам шаг и величина погрешности.

Построить график зависимости погрешности от шага для каждой формулы. Для удобства график лучше выводить в двойном логарифмическом масштабе.

Ориентируясь по графику и таблице для каждой формулы указать наивысшую достижимую точность (наименьшую погрешность) и номер шага (не сам шаг!), на котором эта погрешность была достигнута.

Сделать выводы.