This shows you the differences between two versions of the page.
Both sides previous revision Previous revision Next revision | Previous revision | ||
courses:computational_mathematics:prac4 [2021/04/22 20:57] andrey.suchkov removed |
— (current) | ||
---|---|---|---|
Line 1: | Line 1: | ||
- | ====== Практическая работа №4: Алгоритм Ремеза ====== | ||
- | ===== Цель работы ===== | ||
- | Освоение и реализация алгоритма Ремеза для построения полиномов наилучшего равномерного приближения средствами GNU Octave. | ||
- | ===== Основные теоретические положения ===== | ||
- | Алгоритм Ремеза (алгоритм замены Ремеза) -- это итеративный алгоритм равномерного аппроксимирования функций $ f \in C[a, b] $, основанный на теореме П. Л. Чебышёва об альтернансе. Предложен Е. Я. Ремезом в 1934 году. | ||
- | |||
- | Теоретической основой алгоритма Ремеза является следующая теорема: | ||
- | |||
- | **Теорема.** //Для того, чтобы некоторый многочлен $ P^*(x) $ степени не выше $ n $ был многочленом, наименее уклоняющимся от $ f \in C[a,b] $, необходимо и достаточно, чтобы на $ [a,b] $ нашлась по крайней мере одна система из $ n + 2 $ точек $ x_i $, $ a \leqslant x_0 < x_1 < \dots < x_{n+1} \leqslant b $, в которых разность $ f(x) - P^*(x) $:// | ||
- | - //поочерёдно принимает значения разных знаков,// | ||
- | - //достигает по модулю наибольшего на $ [a,b] $ значения.// | ||
- | //Такая система точек называется чебышёвским альтернансом.// | ||
- | |||
- | Пусть $ E_n $ -- величина наилучшего приближения функции $ f(x) $ многочленами степени $ n $. Оценку $ E_n $ снизу даёт следующая теорема: | ||
- | |||
- | **Теорема Валле-Пуссена.** //Если для функции $ f \in C[a,b] $ некоторый многочлен $ P(x) $ степени $ n $ обладает тем свойством, что разность $ f(x) - P(x) $ на некоторой системе из $ n + 2 $ упорядоченных точек $ x_i $ принимает значения с чередующимися знаками, то// \[E_n(f) \geqslant \min|f(x_i) - P(x_i)|.\] | ||
- | |||
- | ===== Постановка задачи ===== | ||
- | С помощью алгоритма Ремеза найти многочлены наилучшего равномерного приближения 5-й и 10-й степени для функции $ f(x) = \cfrac A{x^2 + px + q} $ на отрезке $ [a, b] $. Значения $ a $, $ b $, $ A $, $ p $, $ q $ берутся из п/р №3. | ||
- | |||
- | ===== Порядок выполнения работы ===== | ||
- | - Реализовать функцию ''f()'' для вычисления значений в функции $ f(x) $. | ||
- | - Реализовать функцию ''remez()'', выполняющая алгоритм Ремеза. | ||
- | - Построить полиномы 5-ой и 10-ой степени. Для полинома 5-ой степени построить кривые на 1-ой, 2-ой, 3-ей, 4-ой, 6-ой и последней итерации, а для полинома 10-ой степени -- 1-ой, 2-ой, 3-ей, 5-ой, 7-ой, 10-ой и последней итерации. Для сравнения полиномы выводить на графике вместе с функцией $ f(x) $. | ||
- | - Для каждого из полиномов заполнить таблицу, сделать выводы: | ||
- | |||
- | ^ Номер шага ^ Значение $ \sigma $ ^ Значение $ R_{\max} $ ^ Значение $ \varepsilon $ ^ | ||
- | | 1 | | | | | ||
- | | 2 | | | | | ||
- | | ... |||| | ||
- | |||
- | ===== Содержание отчёта ===== | ||
- | * Цель работы. | ||
- | * Краткое изложение основных теоретических понятий. | ||
- | * Постановка задачи с кратким описанием порядка выполнения работы. | ||
- | * Графики интерполяционных многочленов и их вид. | ||
- | * Таблицы для оценки погрешности. | ||
- | * Общий вывод по проделанной работе. | ||
- | * Код программы. |