Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- courses:computational_mathematics:prac4 [2021/05/29 13:38]
andrey.suchkov
+++ — (current)
@@ Line 1: / Line 1: @@
-====== Практическая работа №4: Интерполирование функций ======
-===== Цель работы =====
-Научиться применять интерполирование функции для решения практических задач, овладеть навыками применения интерполяционных формул Лагранжа заданной степени, многочленов Ньютона. Научиться оценивать погрешности интерполяционных формул и работать в программных пакетах с целью проверки полученных результатов.
-===== Основные теоретические положения =====
-Пусть значение $ f(x) $ известно в некоторых точках $ X = \{x_j\}_{j=0}^n $, и необходимо найти $ f(x_i) $: $ x_i \notin X $. Для этих целей, функцию $ f(x) $ приближают функцией $ L_n(x) $:
-\[
-  L_n(x) = \sum_{k=0}^na_k\varphi_k,
-\]
-где $ \varphi $ -- произвольный базис, удобный для данной $ f(x) $. Задача интерполяции -- найти обобщённый многочлен. Существует несколько способов нахождения, например, метод Лагранжа. Он даёт готовый интерполяционный многочлен Лагранжа:
-\[
-  L_n(x) = \sum_{i=0}^nf_i\ell_i(x),
-\]
-где $ f_i = f(x_i) $ -- значение функции в узле $ x_i $, а
-\[
-  \ell_i(x) = \prod_{\substack{k=0 \\ k \ne i}}^n\frac{x - x_k}{x_i - x_k}
-\]
--- $ i $-ый базисный полином.
-Если узлы, в которых определено значение $ f(x_i) $ являются равноотстоящими, т.е. $ x_i = x_0 + ih $, $ x_0 < x_1 \dots < x_n $, $ i = 1..n $, тогда можно воспользоваться интерполяционным многочленом Ньютона:
-\[
-  N_n(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{\Delta^kf_0}{k!}\prod_{j=0}^{k}(q - j + 1),
-\]
-где $ \Delta^kf $ -- конечная разность $ k $-го порядка, $ q = (x - x_0)/h $.
-Многочлен Чебышёва первого рода $ T_n(x) $ характеризуется как многочлен степени $ n $ со старшим коэффициентом $ 2^{n-1} $, который меньше всего отклоняется от нуля на отрезке $ [-1, 1] $
-\[
-  T_n(x) = \cos(n\arccos x).
-\]
-Для натурального $ n $ узлы на промежутке $ x \in [-1, 1] $ задаются формулой:
-\[
-  x_k = \cos\left(\pi\frac{2k-1}{2n}\right),\,k = 1..n.
-\]
-Это корни многочлена Чебышёва первого рода степени $ n $.
-Для получения узлов на произвольном отрезке $ [a, b] $, можно применить следующую формулу:
-\[
-  x_k = \frac{a + b}2 + \frac{b  - a}2\cos\left(\pi\frac{2k-1}{2n}\right),\,k = 1..n.
-\]
-После нахождения интерполяционного многочлена, необходимо вычислить и оценить его погрешность. Должно выполнятся следующее неравенство:
-\[
-  \max\limits_{x \in [a, b]}|R_n(x)| \leqslant \frac{M_{n+1}}{(n+1)!}\max\limits_{x \in [a, b]}|\omega_n(x)| = Q_n,
-\]
-где $ [a, b] $ -- промежуток интерполирования, $ R_n(x) = f(x) - L_n(x) $, $ M_{n+1} = \max\limits_{\eta \in [a, b]}|f^{(n+1)}(\eta)| $, $ \omega_n(x) = \prod\limits_{j=0}^n(x - x_j) $. Левая часть неравенства является практической погрешностью, а правая -- теоретической.
-===== Постановка задачи =====
-Построить интерполяционный многочлен по 2, 3, 4, 5 и 6 узлам (равноотстоящим и чебышёвским) для функции $ f(x) = \cfrac A{x^2 + px + q} $ на промежутке $ [a, b] $ по равноотстоящим и по чебышёвским узлам. Найти фактическую погрешность и сравнить её с теоретической оценкой.
-===== Порядок выполнения работы =====
-  - Реализовать функцию ''f()'' для вычисления значений в функции $ f(x) $.
-  - Реализовать функцию ''df()'', вычисляющая $ n $-ую производную функции $ f(x) $. Данную функцию можно реализовать с помощью ''switch'', предварительно посчитав производные в символьном виде, например, в Wolfram.
-  - Реализовать функцию, вычисляющую интерполяционный многочлен по методу Лагранжа ''lagrange()'' (для нечётных вариантов) или Ньютона ''newti()'' (для чётных вариантов).
-  - Построить график полученного интерполяционного многочлена $ n $-го порядка по равномерной сетке и функции $ f(x) $ в одном окне. Отметить на графике узлы интерполяции. Выписать полученный интерполяционный многочлен с точностью коэффициентов до 7 знаков после запятой.
-  - Аналогично выполнить построение для чебышёвской сетки.
-  - Заполнить таблицу для каждой сетки и сделать выводы:
-^  Значение $ n $                      |  1  |  2  |  3  |  4  |  5  |
-^  Значение $ M_{n+1} $                |     |     |     |     |     |
-^  Значение $ \max|\omega_n(x)| $  |     |     |     |     |     |
-^  Значение $ (n + 1)! $               |     |     |     |     |     |
-^  Значение $ Q_n $                 |     |     |     |     |     |
-^  Значение $ \max|R_n(x)| $           |     |     |     |     |     |
-===== Варианты заданий =====
-<note important>
-Выполнение работ осуществляется по индивидуальным вариантам заданий (коэффициентам функции). Номер варианта для каждого студента определяется преподавателем.
-</note>
-[[.task4:task4-vars]]
-===== Содержание отчёта =====
-  * Цель работы.
-  * Краткое изложение основных теоретических понятий.
-  * Постановка задачи с кратким описанием порядка выполнения работы.
-  * Графики интерполяционных многочленов и их вид.
-  * Таблицы для оценки погрешности.
-  * Общий вывод по проделанной работе.
-  * Код программы.

se.moevm.info

User Tools

Site Tools

Differences

Page Tools