This shows you the differences between two versions of the page.
Both sides previous revision Previous revision Next revision | Previous revision | ||
courses:computational_mathematics:prac4 [2022/04/16 17:36] andrey.suchkov ↷ Page name changed from courses:computational_mathematics:task1 to courses:computational_mathematics:task4 |
— (current) | ||
---|---|---|---|
Line 1: | Line 1: | ||
- | ====== Практическая работа №4: Интерполирование функций ====== | ||
- | ===== Цель работы ===== | ||
- | Научиться применять интерполирование функции для решения практических задач, овладеть навыками применения интерполяционных формул Лагранжа заданной степени, многочленов Ньютона. Научиться оценивать погрешности интерполяционных формул и работать в программных пакетах с целью проверки полученных результатов. | ||
- | |||
- | ===== Основные теоретические положения ===== | ||
- | Пусть значение $ f(x) $ известно в некоторых точках $ X = \{x_j\}_{j=0}^n $, и необходимо найти $ f(x_i) $: $ x_i \notin X $. Для этих целей, функцию $ f(x) $ приближают функцией $ L_n(x) $: | ||
- | \[ | ||
- | L_n(x) = \sum_{k=0}^na_k\varphi_k, | ||
- | \] | ||
- | где $ \varphi $ -- произвольный базис, удобный для данной $ f(x) $. Задача интерполяции -- найти обобщённый многочлен. Существует несколько способов нахождения, например, метод Лагранжа. Он даёт готовый интерполяционный многочлен Лагранжа: | ||
- | \[ | ||
- | L_n(x) = \sum_{i=0}^nf_i\ell_i(x), | ||
- | \] | ||
- | где $ f_i = f(x_i) $ -- значение функции в узле $ x_i $, а | ||
- | \[ | ||
- | \ell_i(x) = \prod_{\substack{k=0 \\ k \ne i}}^n\frac{x - x_k}{x_i - x_k} | ||
- | \] | ||
- | -- $ i $-ый базисный полином. | ||
- | |||
- | Если узлы, в которых определено значение $ f(x_i) $ являются равноотстоящими, т.е. $ x_i = x_0 + ih $, $ x_0 < x_1 < \dots < x_n $, $ i = 1..n $, тогда можно воспользоваться интерполяционным многочленом Ньютона: | ||
- | \[ | ||
- | N_n(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{\Delta^kf_0}{k!}\prod_{j=0}^{k}(q - j + 1), | ||
- | \] | ||
- | где $ \Delta^kf $ -- конечная разность $ k $-го порядка, $ q = (x - x_0)/h $. | ||
- | |||
- | Многочлен Чебышёва первого рода $ T_n(x) $ характеризуется как многочлен степени $ n $ со старшим коэффициентом $ 2^{n-1} $, который меньше всего отклоняется от нуля на отрезке $ [-1, 1] $ | ||
- | \[ | ||
- | T_n(x) = \cos(n\arccos x). | ||
- | \] | ||
- | Для натурального $ n $ узлы на промежутке $ x \in [-1, 1] $ задаются формулой: | ||
- | \[ | ||
- | x_k = \cos\left(\pi\frac{2k-1}{2n}\right),\,k = 1..n. | ||
- | \] | ||
- | Это корни многочлена Чебышёва первого рода степени $ n $. | ||
- | |||
- | Для получения узлов на произвольном отрезке $ [a, b] $, можно применить следующую формулу: | ||
- | \[ | ||
- | x_k = \frac{a + b}2 + \frac{b - a}2\cos\left(\pi\frac{2k-1}{2n}\right),\,k = 1..n. | ||
- | \] | ||
- | После нахождения интерполяционного многочлена, необходимо вычислить и оценить его погрешность. Должно выполнятся следующее неравенство: | ||
- | \[ | ||
- | \max\limits_{x \in [a, b]}|R_n(x)| \leqslant \frac{M_{n+1}}{(n+1)!}\max\limits_{x \in [a, b]}|\omega_{n+1}(x)| = Q_n, | ||
- | \] | ||
- | где $ [a, b] $ -- промежуток интерполирования, $ R_n(x) = f(x) - L_n(x) $, $ M_{n+1} = \max\limits_{\eta \in [a, b]}|f^{(n+1)}(\eta)| $, $ \omega_{n+1}(x) = \prod\limits_{j=0}^n(x - x_j) $. Левая часть неравенства является практической погрешностью, а правая -- теоретической. | ||
- | |||
- | ===== Постановка задачи ===== | ||
- | Построить интерполяционный многочлен по 2, 3, 4, 5 и 6 узлам (равноотстоящим и чебышёвским) для функции $ f(x) = \cfrac A{x^2 + px + q} $ на промежутке $ [a, b] $ по равноотстоящим и по чебышёвским узлам. Найти фактическую погрешность и сравнить её с теоретической оценкой. | ||
- | |||
- | ===== Порядок выполнения работы ===== | ||
- | - Реализовать функцию ''f()'' для вычисления значений в функции $ f(x) $. | ||
- | - Реализовать функцию ''df()'', вычисляющая $ n $-ую производную функции $ f(x) $. Данную функцию можно реализовать с помощью ''switch'', предварительно посчитав производные в символьном виде, например, в Wolfram. | ||
- | - Реализовать функцию, вычисляющую интерполяционный многочлен по методу Лагранжа ''lagrange()'' (**для нечётных вариантов**) или Ньютона ''newti()'' (**для чётных вариантов**). | ||
- | - Построить график полученного интерполяционного многочлена $ n $-го порядка по равномерной сетке и функции $ f(x) $ в одном окне. Отметить на графике узлы интерполяции. Выписать полученный интерполяционный многочлен с точностью коэффициентов до 7 знаков после запятой. | ||
- | - Аналогично выполнить построение для чебышёвской сетки. | ||
- | - Заполнить таблицу для каждой сетки и сделать выводы: | ||
- | |||
- | ^ Значение $ n $ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | | ||
- | ^ Значение $ M_{n+1} $ | | | | | | | ||
- | ^ Значение $ \max|\omega_{n+1}(x)| $ | | | | | | | ||
- | ^ Значение $ (n + 1)! $ | | | | | | | ||
- | ^ Значение $ Q_n $ | | | | | | | ||
- | ^ Значение $ \max|R_n(x)| $ | | | | | | | ||
- | |||
- | ===== Варианты заданий ===== | ||
- | <note important> | ||
- | Выполнение работ осуществляется по индивидуальным вариантам заданий (коэффициентам функции). Номер варианта для каждого студента определяется преподавателем. | ||
- | </note> | ||
- | [[.task4:task4-vars]] | ||
- | |||
- | ===== Содержание отчёта ===== | ||
- | * Цель работы. | ||
- | * Краткое изложение основных теоретических понятий. | ||
- | * Постановка задачи с кратким описанием порядка выполнения работы. | ||
- | * Графики интерполяционных многочленов и их вид. | ||
- | * Таблицы для оценки погрешности. | ||
- | * Общий вывод по проделанной работе. | ||
- | * Код программы. |