This shows you the differences between two versions of the page.
courses:system_analysis_modeling_and_optimization:task1 [2019/06/29 13:08] andrey.suchkov [Постановка задачи] |
courses:system_analysis_modeling_and_optimization:task1 [2022/12/10 09:08] |
||
---|---|---|---|
Line 1: | Line 1: | ||
- | ====== Практическая работа №1: Моделирование и исследование случайных величин и последовательностей ====== | ||
- | ===== Цель работы ===== | ||
- | Напоминание свойств и способа построения случайной величины, освоение ее моделирования. | ||
- | ===== Основные теоретические положения ===== | ||
- | Случайная величина -- величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. | ||
- | Примеры случайных величин: | ||
- | - число попаданий при трех выстрелах; | ||
- | - угол, под которым упадет подброшенная монетка. | ||
- | Случайная величина может быть дискретной или непрерывной. | ||
- | |||
- | Дискретная случайная величина -- случайная величина, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. | ||
- | Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически. | ||
- | |||
- | //Пример:// | ||
- | - Вероятность, что на кубике выпадет число 1: $$\mathbb P(A = 1) = \frac16.$$ | ||
- | - Вероятность, что на кубике выпадет число 2 или 4: $$\mathbb P(A = 2 \lor A = 4) = \frac16 + \frac16 = \frac13.$$ | ||
- | Непрерывная случайная величина -- случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. | ||
- | |||
- | В отличие от дискретных случайных величин вероятность отдельного значения для непрерывной случайной величины равна нулю (так как множество возможных исходов бесконечно):$$\mathbb P(A = c) = 0,$$ | ||
- | для любого $c$ множества действительных чисел. | ||
- | |||
- | Поэтому вводят вероятность случайной величины быть меньше указанного значения. Полученную функцию называют функцией распределения:$$F_A(t) = \mathbb P(A < t).$$ | ||
- | |||
- | //Пример:// | ||
- | - Вероятность угадать загаданное вещественное число в интервале $[0, 1]$ равна 0. | ||
- | - Вероятность того, что загаданное вещественное число будет лежать в интервале $[0, t]$, $t \in (0, 1)$, если оно было загадано на интервале $[0, 1]$, будет равна $t$. | ||
- | Над случайными величинами можно выполнять арифметические операции. Результатом такой операции будет новая случайная величина со своей функцией распределения. | ||
- | |||
- | //Дано:// Случайная величина, и ее функция распределения:$$X \sim F_X(t).$$ | ||
- | Другая случайная величина получена от первой воздействием некоторой функции: $$Y = g(X).$$ | ||
- | //Найти:// Функцию распределения случайной величины $Y$. | ||
- | //Решение:// По определению функция распределения случайной величины $Y$:$$F_Y(t) = \mathbb P(Y < t).$$ | ||
- | По условию определено, каким образом связаны случайные величины $X$ и $Y$, значит $$\mathbb P(Y < t) = \mathbb P(g(X) < t).$$ | ||
- | При взятии под скобками от обоих частей неравенства функцию, обратную $g$, неравенство не изменится. Следовательно,$$\mathbb P(g(X) < t) = \mathbb P(X < g^{-1}(t)).$$ | ||
- | Получена связь функций распределений двух случайных величин:$$F_Y(t) = F_X(g^{-1}(t)).$$ | ||
- | ===== Постановка задачи ===== | ||
- | Пользуясь датчиками, генерирующими последовательность случайных чисел, распределенных по равномерному закону, смоделировать: | ||
- | - Случайную величину, распределенную по равномерному случайному закону на интервале $[0, \alpha]$, где $\alpha$ -- заданный параметр:{{ :courses:system_analysis_modeling_and_optimization:task1_unif.png?nolink&300 |Плотность равномерно распределенной случайной величины на отрезке [a, b]}} | ||
- | - Случайную величину, распределенную по показательному закону с параметром $\lambda$:{{ :courses:system_analysis_modeling_and_optimization:task1_exp.png?nolink&300 |Плотность случайной величины, распределенной по показательному закону с параметром λ}} | ||
- | - Случайную величину, распределенную по треугольному закону с параметрами $a = 0$, $b = \beta$, $c = 0$, где $\beta$ -- заданный параметр:{{ :courses:system_analysis_modeling_and_optimization:task1_triang.png?nolink&300 |Плотность случайной величины, распределенной по треугольному закону с параметрами a, b, c}} | ||
- | У полученных случайных величин построить гистограммы, рассчитать математическое ожидание и дисперсию. | ||
- | ==== Варианты заданий ==== | ||
- | |||
- | |||
- | ===== Порядок выполнения работы ===== | ||
- | - Используя пакет GPSS или другие программные средства составить программу для исследования стандартных датчиков псевдослучайных (далее случайных) чисел с квазиравномерным (далее равномерным), экспоненциальным и треугольным законами распределения. Оцениваемые параметры: математическое ожидание и СКО случайных чисел и качественная оценка плотности распределения. | ||
- | - Выбрать объем выборки, исходя из заданной точности оценки математического ожидания и СКО, и провести моделирование. |