Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- courses:system_analysis_modeling_and_optimization:task1 [2019/06/29 13:08]
andrey.suchkov [Постановка задачи]
+++ courses:system_analysis_modeling_and_optimization:task1 [2022/12/10 09:08]
@@ Line 1: / Line 1: @@
-====== Практическая работа №1: Моделирование и исследование случайных величин и последовательностей ======
-===== Цель работы =====
-Напоминание свойств и способа построения случайной величины, освоение ее моделирования.
-===== Основные теоретические положения =====
-Случайная величина -- величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.
-Примеры случайных величин:
-  - число попаданий при трех выстрелах;
-  - угол, под которым упадет подброшенная монетка.
-Случайная величина может быть дискретной или непрерывной.
-Дискретная случайная величина -- случайная величина, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.
-Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.
-//Пример://
-  - Вероятность, что на кубике выпадет число 1: $$\mathbb P(A = 1) = \frac16.$$
-  - Вероятность, что на кубике выпадет число 2 или 4: $$\mathbb P(A = 2 \lor A = 4) = \frac16 + \frac16 = \frac13.$$
-Непрерывная случайная величина -- случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
-В отличие от дискретных случайных величин вероятность отдельного значения для непрерывной случайной величины равна нулю (так как множество возможных исходов бесконечно):$$\mathbb P(A = c) = 0,$$
-для любого $c$ множества действительных чисел.
-Поэтому вводят вероятность случайной величины быть меньше указанного значения. Полученную функцию называют функцией распределения:$$F_A(t) = \mathbb P(A < t).$$
-//Пример://
-  - Вероятность угадать загаданное вещественное число в интервале $[0, 1]$ равна 0.
-  - Вероятность того, что загаданное вещественное число будет лежать в интервале $[0, t]$, $t \in (0, 1)$, если оно было загадано на интервале $[0, 1]$, будет равна $t$.
-Над случайными величинами можно выполнять арифметические операции. Результатом такой операции будет новая случайная величина со своей функцией распределения.
-//Дано:// Случайная величина, и ее функция распределения:$$X \sim F_X(t).$$
-Другая случайная величина получена от первой воздействием некоторой функции: $$Y = g(X).$$
-//Найти:// Функцию распределения случайной величины $Y$.
-//Решение:// По определению функция распределения случайной величины $Y$:$$F_Y(t) = \mathbb P(Y < t).$$
-По условию определено, каким образом связаны случайные величины $X$ и $Y$, значит $$\mathbb P(Y < t) = \mathbb P(g(X) < t).$$
-При взятии под скобками от обоих частей неравенства функцию, обратную $g$, неравенство не изменится. Следовательно,$$\mathbb P(g(X) < t) = \mathbb P(X < g^{-1}(t)).$$
-Получена связь функций распределений двух случайных величин:$$F_Y(t) = F_X(g^{-1}(t)).$$
-===== Постановка задачи =====
-Пользуясь датчиками, генерирующими последовательность случайных чисел, распределенных по равномерному закону, смоделировать:
-  - Случайную величину, распределенную по равномерному случайному закону на интервале $[0, \alpha]$, где $\alpha$ -- заданный параметр:{{ :courses:system_analysis_modeling_and_optimization:task1_unif.png?nolink&300 |Плотность равномерно распределенной случайной величины на отрезке [a, b]}}
-  - Случайную величину, распределенную по показательному закону с параметром $\lambda$:{{ :courses:system_analysis_modeling_and_optimization:task1_exp.png?nolink&300 |Плотность случайной величины, распределенной по показательному закону с параметром λ}}
-  - Случайную величину, распределенную по треугольному закону с параметрами $a = 0$, $b = \beta$, $c = 0$, где $\beta$ -- заданный параметр:{{ :courses:system_analysis_modeling_and_optimization:task1_triang.png?nolink&300 |Плотность случайной величины, распределенной по треугольному закону с параметрами a, b, c}}
-У полученных случайных величин построить гистограммы, рассчитать математическое ожидание и дисперсию.
-==== Варианты заданий ====
-===== Порядок выполнения работы =====
-  - Используя пакет GPSS или другие программные средства составить программу для исследования стандартных датчиков псевдослучайных (далее случайных) чисел с квазиравномерным (далее равномерным), экспоненциальным и треугольным законами распределения. Оцениваемые параметры: математическое ожидание и СКО случайных чисел и качественная оценка плотности распределения.
-  - Выбрать объем выборки, исходя из заданной точности оценки математического ожидания и СКО, и провести моделирование.

se.moevm.info

User Tools

Site Tools

Differences

Page Tools