Практическая работа №1: Моделирование и исследование случайных величин и последовательностей

Цель работы

Напоминание свойств и способа построения случайной величины, освоение ее моделирования.

Основные теоретические положения

Случайная величина -- величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.

Примеры случайных величин:

число попаданий при трех выстрелах;

угол, под которым упадет подброшенная монетка.

Случайная величина может быть дискретной или непрерывной.

Дискретная случайная величина -- случайная величина, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

Пример:

Вероятность, что на кубике выпадет число 1:

Вероятность, что на кубике выпадет число 2 или 4:

Непрерывная случайная величина -- случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

В отличие от дискретных случайных величин вероятность отдельного значения для непрерывной случайной величины равна нулю (так как множество возможных исходов бесконечно): для любого множества действительных чисел.

Поэтому вводят вероятность случайной величины быть меньше указанного значения. Полученную функцию называют функцией распределения:

Пример:

Вероятность угадать загаданное вещественное число в интервале равна 0.

Вероятность того, что загаданное вещественное число будет лежать в интервале , , если оно было загадано на интервале , будет равна .

Над случайными величинами можно выполнять арифметические операции. Результатом такой операции будет новая случайная величина со своей функцией распределения.

Дано: Случайная величина, и ее функция распределения: Другая случайная величина получена от первой воздействием некоторой функции: Найти: Функцию распределения случайной величины . Решение: По определению функция распределения случайной величины : По условию определено, каким образом связаны случайные величины и , значит При взятии под скобками от обоих частей неравенства функцию, обратную , неравенство не изменится. Следовательно, Получена связь функций распределений двух случайных величин:

Постановка задачи

Пользуясь датчиками, генерирующими последовательность случайных чисел, распределенных по равномерному закону, смоделировать:

Случайную величину, распределенную по равномерному случайному закону на интервале , где -- заданный параметр: Плотность равномерно распределенной случайной величины на отрезке [a, b]

Случайную величину, распределенную по показательному закону с параметром : Плотность случайной величины, распределенной по показательному закону с параметром λ

Случайную величину, распределенную по треугольному закону с параметрами , , , где -- заданный параметр: Плотность случайной величины, распределенной по треугольному закону с параметрами a, b, c

У полученных случайных величин построить гистограммы, рассчитать математическое ожидание и дисперсию.

Варианты заданий

№ варианта	Параметр	Параметр	Параметр
1	70	1/150	90
2	110	1/20	170
3	130	1/130	170
4	200	1/190	120
5	70	1/180	90
6	180	1/190	200
7	10	1/50	170
8	20	1/200	190
9	60	1/200	140
10	200	1/90	190
11	20	1/150	70
12	110	1/130	110
13	80	1/100	110
14	130	1/50	80
15	90	1/50	160
16	190	1/130	80
17	170	1/40	200
18	130	1/60	20
19	70	1/190	30
20	110	1/190	140
21	120	1/110	30
22	80	1/110	190
23	40	1/200	180
24	100	1/120	10
25	60	1/170	10
26	100	1/200	160
27	80	1/40	10
28	20	1/160	110
29	160	1/60	130
30	200	1/110	20

Порядок выполнения работы

Используя пакет GPSS или другие программные средства составить программу для исследования стандартных датчиков псевдослучайных (далее случайных) чисел с квазиравномерным (далее равномерным), экспоненциальным и треугольным законами распределения. Оцениваемые параметры: математическое ожидание и СКО случайных чисел и качественная оценка плотности распределения.

Выбрать объем выборки, исходя из заданной точности оценки математического ожидания и СКО, и провести моделирование.

Содержание отчёта

Цель работы.

Краткое изложение основных теоретических понятий.

Постановка задачи с кратким описанием порядка выполнения работы.

Результаты моделирования с использованием программы.

Необходимые рисунки и таблицы с краткими выводами.

Общий вывод по проделанной работе.

Код программы.

Тексты программ