====== Практическая работа №1: Моделирование и исследование случайных величин и последовательностей ====== ===== Цель работы ===== Напоминание свойств и способа построения случайной величины, освоение её моделирования. ===== Основные теоретические положения ===== Случайная величина -- величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Примеры случайных величин: - число попаданий при трех выстрелах; - угол, под которым упадет подброшенная монетка. Случайная величина может быть дискретной или непрерывной. Дискретная случайная величина -- случайная величина, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически. //Пример:// - Вероятность, что на кубике выпадет число 1: $$\mathbb P(A = 1) = \frac16.$$ - Вероятность, что на кубике выпадет число 2 или 4: $$\mathbb P(A = 2 \lor A = 4) = \frac16 + \frac16 = \frac13.$$ Непрерывная случайная величина -- случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. В отличие от дискретных случайных величин вероятность отдельного значения для непрерывной случайной величины равна нулю (так как множество возможных исходов бесконечно):$$\mathbb P(A = c) = 0,$$ для любого $c$ множества действительных чисел. Поэтому вводят вероятность случайной величины быть меньше указанного значения. Полученную функцию называют функцией распределения:$$F_A(t) = \mathbb P(A < t).$$ //Пример:// - Вероятность угадать загаданное вещественное число в интервале $[0, 1]$ равна 0. - Вероятность того, что загаданное вещественное число будет лежать в интервале $[0, t]$, $t \in (0, 1)$, если оно было загадано на интервале $[0, 1]$, будет равна $t$. Над случайными величинами можно выполнять арифметические операции. Результатом такой операции будет новая случайная величина со своей функцией распределения. //Дано:// Случайная величина, и ее функция распределения:$$X \sim F_X(t).$$ Другая случайная величина получена от первой воздействием некоторой функции: $$Y = g(X).$$ //Найти:// Функцию распределения случайной величины $Y$.\\ //Решение:// По определению функция распределения случайной величины $Y$:$$F_Y(t) = \mathbb P(Y < t).$$ По условию определено, каким образом связаны случайные величины $X$ и $Y$, значит $$\mathbb P(Y < t) = \mathbb P(g(X) < t).$$ При взятии под скобками от обоих частей неравенства функцию, обратную $g$, неравенство не изменится. Следовательно,$$\mathbb P(g(X) < t) = \mathbb P(X < g^{-1}(t)).$$ Получена связь функций распределений двух случайных величин:$$F_Y(t) = F_X(g^{-1}(t)).$$ ===== Постановка задачи ===== Пользуясь датчиками, генерирующими последовательность случайных чисел, распределенных по равномерному закону, смоделировать: - Случайную величину, распределенную по равномерному случайному закону на интервале $[0, \alpha]$, где $\alpha$ -- заданный параметр:{{ :courses:system_analysis_modeling_and_optimization:task1_unif.png?nolink&300 |Плотность равномерно распределенной случайной величины на отрезке [a, b]}} - Случайную величину, распределенную по показательному закону с параметром $\lambda$:{{ :courses:system_analysis_modeling_and_optimization:task1_exp.png?nolink&300 |Плотность случайной величины, распределенной по показательному закону с параметром λ}} - Случайную величину, распределенную по треугольному закону с параметрами $a = 0$, $b = \beta$, $c = 0$, где $\beta$ -- заданный параметр:{{ :courses:system_analysis_modeling_and_optimization:task1_triang.png?nolink&300 |Плотность случайной величины, распределенной по треугольному закону с параметрами a, b, c}} У полученных случайных величин построить гистограммы, рассчитать математическое ожидание и дисперсию. ===== Порядок выполнения работы ===== - Используя пакет GPSS или другие программные средства составить программу для исследования стандартных датчиков псевдослучайных (далее случайных) чисел с квазиравномерным (далее равномерным), экспоненциальным и треугольным законами распределения. Оцениваемые параметры: математическое ожидание и СКО случайных чисел и качественная оценка плотности распределения. - Выбрать объем выборки, исходя из заданной точности оценки математического ожидания и СКО, и провести моделирование. ===== Варианты заданий ===== ^ № варианта ^ Параметр $\alpha$ ^ Параметр $\lambda$ ^ Параметр $\beta$ ^ | 1 | 70 | 1/150 | 90 | | 2 | 110 | 1/20 | 170 | | 3 | 130 | 1/130 | 170 | | 4 | 200 | 1/190 | 120 | | 5 | 70 | 1/180 | 90 | | 6 | 180 | 1/190 | 200 | | 7 | 10 | 1/50 | 170 | | 8 | 20 | 1/200 | 190 | | 9 | 60 | 1/200 | 140 | | 10 | 200 | 1/90 | 190 | | 11 | 20 | 1/150 | 70 | | 12 | 110 | 1/130 | 110 | | 13 | 80 | 1/100 | 110 | | 14 | 130 | 1/50 | 80 | | 15 | 90 | 1/50 | 160 | | 16 | 190 | 1/130 | 80 | | 17 | 170 | 1/40 | 200 | | 18 | 130 | 1/60 | 20 | | 19 | 70 | 1/190 | 30 | | 20 | 110 | 1/190 | 140 | | 21 | 120 | 1/110 | 30 | | 22 | 80 | 1/110 | 190 | | 23 | 40 | 1/200 | 180 | | 24 | 100 | 1/120 | 10 | | 25 | 60 | 1/170 | 10 | | 26 | 100 | 1/200 | 160 | | 27 | 80 | 1/40 | 10 | | 28 | 20 | 1/160 | 110 | | 29 | 160 | 1/60 | 130 | | 30 | 200 | 1/110 | 20 | ===== Содержание отчёта ===== * Цель работы. * Краткое изложение основных теоретических понятий. * Постановка задачи с кратким описанием порядка выполнения работы. * Результаты моделирования с использованием программы. * Необходимые рисунки и таблицы с краткими выводами. * Общий вывод по проделанной работе. * Код программы. ===== Пример выполнения задания ===== 10 SIMULATE 20 RMULT 15,900,28 30 GENERATE 1 40 E1 FVARIABLE -50#LOG((RN1+1)/1000) 50 E2 FVARIABLE (RN2+1) 60 E3 FVARIABLE 300#(1-1#SQR((RN3)/1000)) 70 TAB1 TABLE V$E1,50,50,20 80 TAB2 TABLE V$E2,50,50,20 90 TAB3 TABLE V$E3,50,50,20 100 TABULATE TAB4 110 TABULATE TAB3 120 TABULATE TAB2 130 TABULATE TAB1 140 TERMINATE 1 150 START 1000