Практическая работа №1: Моделирование и исследование случайных величин и последовательностей

Напоминание свойств и способа построения случайной величины, освоение её моделирования.

Случайная величина – величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.

Примеры случайных величин:

1. число попаданий при трех выстрелах;
2. угол, под которым упадет подброшенная монетка.

Случайная величина может быть дискретной или непрерывной.

Дискретная случайная величина – случайная величина, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

Пример:

1. Вероятность, что на кубике выпадет число 1: $$\mathbb P(A = 1) = \frac16.$$
2. Вероятность, что на кубике выпадет число 2 или 4: $$\mathbb P(A = 2 \lor A = 4) = \frac16 + \frac16 = \frac13.$$

Непрерывная случайная величина – случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

В отличие от дискретных случайных величин вероятность отдельного значения для непрерывной случайной величины равна нулю (так как множество возможных исходов бесконечно):$$\mathbb P(A = c) = 0,$$ для любого $c$ множества действительных чисел.

Поэтому вводят вероятность случайной величины быть меньше указанного значения. Полученную функцию называют функцией распределения:$$F_A(t) = \mathbb P(A < t).$$

Пример:

1. Вероятность угадать загаданное вещественное число в интервале $[0, 1]$ равна 0.
2. Вероятность того, что загаданное вещественное число будет лежать в интервале $[0, t]$, $t \in (0, 1)$, если оно было загадано на интервале $[0, 1]$, будет равна $t$.

Над случайными величинами можно выполнять арифметические операции. Результатом такой операции будет новая случайная величина со своей функцией распределения.

Дано: Случайная величина, и ее функция распределения:$$X \sim F_X(t).$$ Другая случайная величина получена от первой воздействием некоторой функции: $$Y = g(X).$$ Найти: Функцию распределения случайной величины $Y$.
Решение: По определению функция распределения случайной величины $Y$:$$F_Y(t) = \mathbb P(Y < t).$$ По условию определено, каким образом связаны случайные величины $X$ и $Y$, значит $$\mathbb P(Y < t) = \mathbb P(g(X) < t).$$ При взятии под скобками от обоих частей неравенства функцию, обратную $g$, неравенство не изменится. Следовательно,$$\mathbb P(g(X) < t) = \mathbb P(X < g^{-1}(t)).$$ Получена связь функций распределений двух случайных величин:$$F_Y(t) = F_X(g^{-1}(t)).$$

Пользуясь датчиками, генерирующими последовательность случайных чисел, распределенных по равномерному закону, смоделировать:

1. Случайную величину, распределенную по равномерному случайному закону на интервале $[0, \alpha]$, где $\alpha$ – заданный параметр:
2. Случайную величину, распределенную по показательному закону с параметром $\lambda$:
3. Случайную величину, распределенную по треугольному закону с параметрами $a = 0$, $b = \beta$, $c = 0$, где $\beta$ – заданный параметр:

У полученных случайных величин построить гистограммы, рассчитать математическое ожидание и дисперсию.

1. Используя пакет GPSS или другие программные средства составить программу для исследования стандартных датчиков псевдослучайных (далее случайных) чисел с квазиравномерным (далее равномерным), экспоненциальным и треугольным законами распределения. Оцениваемые параметры: математическое ожидание и СКО случайных чисел и качественная оценка плотности распределения.
2. Выбрать объем выборки, исходя из заданной точности оценки математического ожидания и СКО, и провести моделирование.

• Цель работы.
• Краткое изложение основных теоретических понятий.
• Постановка задачи с кратким описанием порядка выполнения работы.
• Результаты моделирования с использованием программы.
• Необходимые рисунки и таблицы с краткими выводами.
• Общий вывод по проделанной работе.
• Код программы.

task1.GPS

10          SIMULATE             
20          RMULT        15,900,28
30          GENERATE     1
40 E1       FVARIABLE    -50#LOG((RN1+1)/1000)
50 E2       FVARIABLE    (RN2+1)
60 E3       FVARIABLE    300#(1-1#SQR((RN3)/1000))
70 TAB1     TABLE        V$E1,50,50,20
80 TAB2     TABLE        V$E2,50,50,20
90 TAB3     TABLE        V$E3,50,50,20
100         TABULATE     TAB4
110         TABULATE     TAB3
120         TABULATE     TAB2
130         TABULATE     TAB1
140         TERMINATE    1
150         START        1000