Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- courses:computational_mathematics:prac2 [2021/06/14 19:32]
andrey.suchkov
+++ courses:computational_mathematics:prac2 [2022/06/28 18:17]
andrey.suchkov ↷ Page name changed from courses:computational_mathematics:task2 to courses:computational_mathematics:prac2
@@ Line 1: / Line 1: @@
-====== Практическая работа №2: Изучение понятия обусловленности вычислительной задачи ======
+====== Практическая работа №2: Интерполирование функций ======
 ===== Цель работы =====
-Исследование обусловленности задачи нахождения корня уравнения на примере линейной функции.
+Научиться применять интерполирование функции для решения практических задач, овладеть навыками применения интерполяционных формул Лагранжа заданной степени, многочленов Ньютона. Научиться оценивать погрешности интерполяционных формул и работать в программных пакетах с целью проверки полученных результатов.
-===== Основные теоретические положения =====
-Под обусловленностью вычислительной задачи понимают чувствительность ее решения к малым погрешностям входных данных.
-Задачу называют хорошо обусловленной, если малым погрешностям входных данных отвечают малые погрешности решения, и плохо обусловленной, если возможны сильные изменения решения. Количественной мерой степени обусловленности вычислительной задачи является число обусловленности, которое можно интерпретировать как коэффициент возможного возрастания погрешностей в решении по отношению к вызвавшим их погрешностям входных данных. Пусть между абсолютными погрешностями входных данных $x$ и решения $y$ установлено неравенство:
-\[
-  \Delta(y^*) \leqslant \nu_{\Delta}\Delta(x^*),
-\]
-где $ x^* $ и $ y^* $ -- приближённые входные данные и приближённое решение соответственно. Тогда величина $ \nu_{\Delta} $ называется абсолютным числом обусловленности.
-Если же установлено неравенство
-\[
-  \delta(y^*) \leqslant \nu_{\delta}\delta(x^*),
-\]
-между относительными ошибками данных и решения, то величину $ \nu_{\delta} $ называют относительным числом обусловленности. Для плохо обусловленной задачи $ \nu \gg 1 $. Грубо говоря, если $ \nu = 10^N $, где $ \nu $ -- относительное число обусловленности, то порядок $ N $ показывает число верных цифр, которое может быть утеряно в результате по сравнению с числом верных цифр входных данных.
-Ответ на вопрос о том, при каком значении $ \nu $ задачу следует признать плохо обусловленной, зависит, с одной стороны, от предъявляемых требований к точности решения и, с другой, -- от уровня обеспечиваемой точности исходных данных. Например, если требуется найти решение с точностью 0.1%, а входная информация задается с точностью 0.02%, то уже значение $ \nu = 10 $ сигнализирует о плохой обусловленности. Однако, при тех же требованиях к точности результата, гарантия, что исходные данные задаются с точностью не ниже 0.0001%, означает, что при $ \nu = 10^3 $ задача хорошо обусловлена.
-Если рассматривать задачу вычисления корня уравнения $ y = f(x) $, то роль числа обусловленности будет играть величина
-\[
-  \nu_{\Delta} = \frac1{|f'(\xi)|},
-\]
-где $ \xi $ -- корень уравнения.
 ===== Постановка задачи =====
-Используя программу //task2.exe//, исследовать обусловленность задачи нахождения корня уравнения $ f(x) = 0 $ для линейной функции $ f(x) = c(x - d) $. Значения функции $ f(x) $ следует вычислить приближенно с точностью ''delta'', варьируемой в пределах 0.1÷0.000001.
+Построить интерполяционный многочлен по 2, 3, 4, 5 и 6 узлам (равноотстоящим и чебышёвским) для функции $ f(x) = \cfrac A{x^2 + px + q} $ на промежутке $ [a, b] $ по равноотстоящим и по чебышёвским узлам. Найти фактическую погрешность и сравнить её с теоретической оценкой.
 ===== Порядок выполнения работы =====
-  - Графически или аналитически отделить корень уравнения $ f(x) = 0 $, т.е. найти отрезки $ [a, b] $, на которых функция удовлетворяет условиям применимости метода бисекции.
+  - Реализовать функцию ''f()'' для вычисления значений в функции $ f(x) $.
-  - Запустить программу //task2.exe//. Ввести значения, необходимые для запуска программы.
+  - Реализовать функцию ''df()'', вычисляющая $ n $-ую производную функции $ f(x) $. Данную функцию можно реализовать с помощью ''switch'', предварительно посчитав производные в символьном виде, например, в Wolfram.
-  - Провести вычисления по программе, варьируя значения параметров ''c'' (тангенс угла наклона прямой), ''epsilon'' (точность вычисления корня) и ''delta'' (точность задания исходных данных).
+  - Реализовать функцию, вычисляющую интерполяционный многочлен по методу Лагранжа ''lagrange()'' (**для нечётных вариантов**) или Ньютона ''newti()'' (**для чётных вариантов**).
-  - Проанализировать полученные результаты и обосновать выбор точности ''epsilon'' вычисления корня. Сопоставить полученные теоретические результаты с экспериментальными данными.
+  - Построить график полученного интерполяционного многочлена $ n $-го порядка по равномерной сетке и функции $ f(x) $ в одном окне. Отметить на графике узлы интерполяции. Выписать полученный интерполяционный многочлен с точностью коэффициентов до 7 знаков после запятой.
+  - Аналогично выполнить построение для чебышёвской сетки.
+  - Заполнить таблицу для каждой сетки и сделать выводы:
+^  Значение $ n $                      |  1  |  2  |  3  |  4  |  5  |
+^  Значение $ M_{n+1} $                |     |     |     |     |     |
+^  Значение $ \max|\omega_{n+1}(x)| $  |     |     |     |     |     |
+^  Значение $ (n + 1)! $               |     |     |     |     |     |
+^  Значение $ Q_n $                    |     |     |     |     |     |
+^  Значение $ \max|R_n(x)| $           |     |     |     |     |     |
+===== Варианты заданий =====
 <note important>
-Значение параметра $ d $ выбирается каждым студентом самостоятельно и согласовывается с преподавателем.
+Выполнение работ осуществляется по индивидуальным вариантам заданий (коэффициентам функции). Номер варианта для каждого студента определяется преподавателем.
 </note>
+[[.task2:task2-vars]]
-===== Содержание отчёта =====
-  * Цель работы.
-  * Краткое изложение основных теоретических понятий.
-  * Постановка задачи с кратким описанием порядка выполнения работы.
-  * Таблицы с вычислениями при различных вариациях параметров.
-  * Краткие выводы по полученным результатам.
-  * Общий вывод по проделанной работе.
-  * Код программы.

se.moevm.info

User Tools

Site Tools

Differences

Page Tools