- 1 курс
- 2 курс
- 3 курс
- 4 курс
- 5 курс
- 6 курс
Old
Old
This is an old revision of the document!
Исследование обусловленности задачи нахождения корня уравнения на примере линейной функции.
Под обусловленностью вычислительной задачи понимают чувствительность ее решения к малым погрешностям входных данных.
Задачу называют хорошо обусловленной, если малым погрешностям входных данных отвечают малые погрешности решения, и плохо обусловленной, если возможны сильные изменения решения. Количественной мерой степени обусловленности вычислительной задачи является число обусловленности, которое можно интерпретировать как коэффициент возможного возрастания погрешностей в решении по отношению к вызвавшим их погрешностям входных данных. Пусть между абсолютными погрешностями входных данных $x$ и решения $y$ установлено неравенство: \[ \Delta(y^*) \leqslant \nu_{\Delta}\Delta(x^*), \] где $ x^* $ и $ y^* $ – приближённые входные данные и приближённое решение соответственно. Тогда величина $ \nu_{\Delta} $ называется абсолютным числом обусловленности.
Если же установлено неравенство \[ \delta(y^*) \leqslant \nu_{\delta}\delta(x^*), \] между относительными ошибками данных и решения, то величину $ \nu_{\delta} $ называют относительным числом обусловленности. Для плохо обусловленной задачи $ \nu \gg 1 $. Грубо говоря, если $ \nu = 10^N $, где $ \nu $ – относительное число обусловленности, то порядок $ N $ показывает число верных цифр, которое может быть утеряно в результате по сравнению с числом верных цифр входных данных.
Ответ на вопрос о том, при каком значении $ \nu $ задачу следует признать плохо обусловленной, зависит, с одной стороны, от предъявляемых требований к точности решения и, с другой, – от уровня обеспечиваемой точности исходных данных. Например, если требуется найти решение с точностью 0.1%, а входная информация задается с точностью 0.02%, то уже значение $ \nu = 10 $ сигнализирует о плохой обусловленности. Однако, при тех же требованиях к точности результата, гарантия, что исходные данные задаются с точностью не ниже 0.0001%, означает, что при $ \nu = 10^3 $ задача хорошо обусловлена.
Если рассматривать задачу вычисления корня уравнения $ y = f(x) $, то роль числа обусловленности будет играть величина \[ \nu_{\Delta} = \frac1{|f'(\xi)|}, \] где $ \xi $ – корень уравнения.
Используя программу task2.exe, исследовать обусловленность задачи нахождения корня уравнения $ f(x) = 0 $ для линейной функции $ f(x) = c(x - d) $. Значения функции $ f(x) $ следует вычислить приближенно с точностью delta
, варьируемой в пределах 0.1÷0.000001.
c
(тангенс угла наклона прямой), epsilon
(точность вычисления корня) и delta
(точность задания исходных данных).epsilon
вычисления корня. Сопоставить полученные теоретические результаты с экспериментальными данными.