Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- courses:computational_mathematics:prac2 [2022/04/16 17:41]
andrey.suchkov ↷ Links adapted because of a move operation
+++ courses:computational_mathematics:prac2 [2022/07/04 05:42]
andrey.suchkov removed
@@ Line 3: / Line 3: @@
 ===== Цель работы =====
 Научиться применять интерполирование функции для решения практических задач, овладеть навыками применения интерполяционных формул Лагранжа заданной степени, многочленов Ньютона. Научиться оценивать погрешности интерполяционных формул и работать в программных пакетах с целью проверки полученных результатов.
-===== Основные теоретические положения =====
-Пусть значение $ f(x) $ известно в некоторых точках $ X = \{x_j\}_{j=0}^n $, и необходимо найти $ f(x_i) $: $ x_i \notin X $. Для этих целей, функцию $ f(x) $ приближают функцией $ L_n(x) $:
-\[
-  L_n(x) = \sum_{k=0}^na_k\varphi_k,
-\]
-где $ \varphi $ -- произвольный базис, удобный для данной $ f(x) $. Задача интерполяции -- найти обобщённый многочлен. Существует несколько способов нахождения, например, метод Лагранжа. Он даёт готовый интерполяционный многочлен Лагранжа:
-\[
-  L_n(x) = \sum_{i=0}^nf_i\ell_i(x),
-\]
-где $ f_i = f(x_i) $ -- значение функции в узле $ x_i $, а
-\[
-  \ell_i(x) = \prod_{\substack{k=0 \\ k \ne i}}^n\frac{x - x_k}{x_i - x_k}
-\]
--- $ i $-ый базисный полином.
-Если узлы, в которых определено значение $ f(x_i) $ являются равноотстоящими, т.е. $ x_i = x_0 + ih $, $ x_0 < x_1 < \dots < x_n $, $ i = 1..n $, тогда можно воспользоваться интерполяционным многочленом Ньютона:
-\[
-  N_n(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{\Delta^kf_0}{k!}\prod_{j=0}^{k}(q - j + 1),
-\]
-где $ \Delta^kf $ -- конечная разность $ k $-го порядка, $ q = (x - x_0)/h $.
-Многочлен Чебышёва первого рода $ T_n(x) $ характеризуется как многочлен степени $ n $ со старшим коэффициентом $ 2^{n-1} $, который меньше всего отклоняется от нуля на отрезке $ [-1, 1] $
-\[
-  T_n(x) = \cos(n\arccos x).
-\]
-Для натурального $ n $ узлы на промежутке $ x \in [-1, 1] $ задаются формулой:
-\[
-  x_k = \cos\left(\pi\frac{2k-1}{2n}\right),\,k = 1..n.
-\]
-Это корни многочлена Чебышёва первого рода степени $ n $.
-Для получения узлов на произвольном отрезке $ [a, b] $, можно применить следующую формулу:
-\[
-  x_k = \frac{a + b}2 + \frac{b  - a}2\cos\left(\pi\frac{2k-1}{2n}\right),\,k = 1..n.
-\]
-После нахождения интерполяционного многочлена, необходимо вычислить и оценить его погрешность. Должно выполнятся следующее неравенство:
-\[
-  \max\limits_{x \in [a, b]}|R_n(x)| \leqslant \frac{M_{n+1}}{(n+1)!}\max\limits_{x \in [a, b]}|\omega_{n+1}(x)| = Q_n,
-\]
-где $ [a, b] $ -- промежуток интерполирования, $ R_n(x) = f(x) - L_n(x) $, $ M_{n+1} = \max\limits_{\eta \in [a, b]}|f^{(n+1)}(\eta)| $, $ \omega_{n+1}(x) = \prod\limits_{j=0}^n(x - x_j) $. Левая часть неравенства является практической погрешностью, а правая -- теоретической.
 ===== Постановка задачи =====
@@ Line 68: / Line 27: @@
 </note>
 [[.task2:task2-vars]]
-===== Содержание отчёта =====
-  * Цель работы.
-  * Краткое изложение основных теоретических понятий.
-  * Постановка задачи с кратким описанием порядка выполнения работы.
-  * Графики интерполяционных многочленов и их вид.
-  * Таблицы для оценки погрешности.
-  * Общий вывод по проделанной работе.
-  * Код программы.

se.moevm.info

User Tools

Site Tools

Differences

Page Tools