Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- courses:computational_mathematics:prac3 [2021/06/14 21:13]
andrey.suchkov [Порядок выполнения работы]
+++ courses:computational_mathematics:prac3 [2022/07/04 05:40]
andrey.suchkov removed
@@ Line 1: / Line 1: @@
-====== Практическая работа №3: Решение нелинейных уравнений и систем ======
+====== Практическая работа №3: Численное дифференцирование ======
 ===== Цель работы =====
-Сформировать представление о методах решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений, выработать умение составлять и применять алгоритмы для решения уравнений и систем уравнений, привить навык использования программных средств для решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений.
+Проверить правильность порядка точности и определить наивысшую достижимую точность (наименьшую погрешность) в стандартном режиме вычислений с плавающей точкой (8-байтовые числа, типа double) для пяти разностных формул численного дифференцирования.
-===== Основные теоретические положения =====
-==== Решение нелинейных уравнений ====
-Численное решение нелинейных (алгебраических или трансцендентных) уравнений вида \[ f(x) = 0\] заключается в нахождении значений $ x $, удовлетворяющих (с заданной точностью) данному уравнению и состоит из следующих основных этапов:
-  - //Отделение// (изоляция, локализация) корней уравнения.
-  - //Уточнение// с помощью некоторого вычислительного алгоритма конкретного выделенного корня с заданной точностью.
-Целью первого этапа является нахождение отрезков из области определения функции $ f(x) $, внутри которых содержится только один корень решаемого уравнения. Иногда ограничиваются рассмотрением лишь какой-нибудь части области определения, вызывающей по тем или иным соображениям интерес. Для реализации данного этапа используются //графические// или //аналитические// способы.
-При аналитическом способе отделения корней полезна следующая теорема.
-**Теорема.** //Непрерывная строго монотонная функция $ f(x) $ имеет и притом единственный нуль на отрезке $ [a, b] $ тогда и только тогда, когда на его концах она принимает значения разных знаков.//
-Достаточным признаком монотонности функции $ f(x) $ на отрезке $ [a, b] $ является сохранение знака производной функции.
-Графический способ отделения корней целесообразно использовать в том случае, когда имеется возможность построения графика функции $ y = f(x) $. Наличие графика исходной функции дает непосредственное представление о количестве и расположении нулей функции, что позволяет определить промежутки, внутри которых содержится только один корень. Если построение графика функции $ y = f(x) $ вызывает затруднение, часто оказывается удобным преобразовать уравнение $ f(x) = 0 $ к эквивалентному виду $ f_1(x) = f_2(x) $ и построить графики функций $ y = f_1(x) $ и $ y = f_2(x) $. Абсциссы точек пересечения этих графиков будут соответствовать значениям корней решаемого уравнения.
-Так или иначе, при завершении первого этапа, должны быть определены промежутки, на каждом из которых содержится только один корень уравнения.
-Для уточнения корня с требуемой точностью применяются различные итерационные методы, заключающийеся в построении числовой последовательности $ x^{(k)} $ ($ k = 0, 1, 2, \dots $), сходящейся к искомому корню $ x^{(*)} $ уравнения $ f(x) = 0$.
-==== Решение систем нелинейных уравнений ====
-Систему нелинейных уравнений с n неизвестными можно записать в виде
-\[
-  \left\{
-    \begin{aligned}
-      &f_1(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0 \\
-      &f_2(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0 \\
-      &\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \\
-      &f_n(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0 \\
-    \end{aligned}
-  \right.
-\]
-или, более коротко, в векторной форме \[ F(X) = 0, \] где $ X = (x_1, x_2, \dots, x_n)^T $ -- вектор неизвестных, $ F = (f_1, f_2, \dots, f_n)^T $ -- вектор-функция.
-В редких случаях для решения такой системы удается применить метод последовательного исключения неизвестных и свести решение исходной задачи к решению одного нелинейного уравнения с одним неизвестным. Значения других неизвестных величин находятся соответствующей подстановкой в конкретные выражения. Однако в подавляющем большинстве случаев для решения систем нелинейных уравнений используются итерационные методы.
-В дальнейшем предполагается, что ищется изолированное решение нелинейной системы.
-Как и в случае одного нелинейного уравнения, локализация решения может осуществляться на основе специфической информации по конкретной решаемой задаче (например, по физическим соображениям), и -- с помощью методов математического анализа. При решении системы двух уравнений, достаточно часто удобным является графический способ, когда месторасположение корней определяется как точки пересечения кривых $ f_1(x_1, x_2) = 0 $, $ f_2(x_1, x_2) = 0 $ на плоскости $ (x_1, x_2) $.
 ===== Постановка задачи =====
-Численно решить уравнение и систему уравнений методами Ньютона и простых итераций с заданной точностью $ \varepsilon $. Значение $ \varepsilon $ варьируется от 0.1 до 0.000001.
+Сравнить точные значения $ f'(x_0) $, $ f''(x_0) $ с конечноразностными первыми производными 1-го, 2-го и 4-го порядков точности и конечноразностными вторыми производными 2-го и 4-го порядков точности, вычисляемыми по последовательно уменьшающимися вдвое значениям шага, если $ f(x) = \cfrac A{x^2 + px + q} $, $ x_0 = a $. Значения $ a $, $ A $, $ p $, $ q $ берутся из п/р №2.
 ===== Порядок выполнения работы =====
-  - При решении уравнения $ f(x) = 0 $:
+  - Реализовать функции для вычисления точных значений $ f(x) $, $ f'(x) $, $ f''(x) $.
-    - Графически или аналитически отделить корни уравнения $ f(x) = 0 $, т.е. найти отрезки $ [a, b] $, на которых функция удовлетворяет условиям теоремы Больцано-Коши.
+  - Реализовать функции для вычисления приближённых формул $ f'(x) $ 1-го, 2-го и 4-го порядка точности, а также $ f''(x) $ 2-го и 4-го порядка точности.
-    - Составить подпрограмму вычисления функции $ f(x) $.
+  - Вычислить точные значения производных с точностью до 15-ти знаков после запятой.
-    - Для метода Ньютона:
+  - Посчитать погрешности (разности между точными значениями соответствующей производной и полученными по каждой из пяти разностных формул) при последовательных уменьшениях шага в два раза.
-      - Составить программу ''newton()'' для вычисления корня уравнения методом Ньютона с заданной точностью $ \varepsilon $.
+  - Результаты для каждой формулы вывести в виде таблицы. Таблица должна состоять из трёх колонок: номер шага, сам шаг и величина погрешности.
-      - Провести вычисления по программе для каждого корня. Заполнить табл. 1 при различных значениях $ \varepsilon $. Сделать выводы.
+  - Построить график зависимости погрешности от шага для каждой формулы. Для удобства график лучше выводить в двойном логарифмическом масштабе.
-      - Для наименьшего корня (**для нечётных вариантов**) и для наибольшего корня (**для чётных вариантов**) заполнить табл. 2 при $ \varepsilon = 0.000001 $. Сделать выводы.
+  - Ориентируясь по графику и таблице для каждой формулы указать наивысшую достижимую точность (наименьшую погрешность) и номер шага (не сам шаг!), на котором эта погрешность была достигнута.
-      - Теоретически и экспериментально исследовать скорость сходимости и обусловленность метода. Сделать выводы
+  - Сделать выводы.
-    - Для метода простых итераций:
-      - Привести уравнение $ f(x) = 0 $ к виду $ x = \varphi(x) $ и проверить функцию $ \varphi(x) $ на сходимость. Если сходимость не выполняется при любом преобразовании уравнения $ f(x) = 0 $ (необходимо это показать!), то привести функцию $ \varphi(x) $ к виду $ \varphi(x) = x + \lambda f(x) $, где $ \lambda $ -- некоторая константа. Составить программу ''phi()'' для функции $ \varphi(x) $, удовлетворяющей сходимости.
-      - Составить программу ''siter()'' для вычисления корня уравнения методом простых итераций с заданной точностью $ \varepsilon $.
-      - Провести вычисления по программе для каждого корня. Заполнить табл. 1 при различных значениях $ \varepsilon $. Сделать выводы.
-      - Для наименьшего корня (**для нечётных вариантов**) и для наибольшего корня (**для чётных вариантов**) заполнить табл. 3 при $ \varepsilon = 0.000001 $. Сделать выводы.
-      - Теоретически и экспериментально исследовать скорость сходимости и обусловленность метода. Сделать выводы.
-  - При решении системы уравнений $ F(X) = 0 $:
-    - Графически отделить решения системы нелинейных уравнений $ F(X) = 0 $.
-    - Составить подпрограммы для вычисления функций $ f_1(x, y) $ и $ f_2(x, y) $. Составить подпрограмму вычисления системы $ F(X) $.
-    - Для метода Ньютона:
-      - Составить программу ''newts()'' для вычисления решений системы уравнений методом Ньютона с заданной точностью $ \varepsilon $.
-      - Провести вычисления по программе для каждого корня. Заполнить табл. 4 при указанных значениях $ \varepsilon $. Сделать выводы.
-      - Для одного из корней заполнить табл. 5 при $ \varepsilon = 0.000001 $. Сделать выводы.
-    - Для метода простых итераций:
-      - Привести систему $ F(X) = 0 $ к виду $ X = \Phi(X) $ и проверить матрицу $ \Phi(X) $ на сходимость. Если сходимость не выполняется при любом преобразовании системы $ F(X) = 0 $ (необходимо это показать!), то привести матрицу $ \Phi(X) $ к виду $ \Phi(X) = X + \Lambda F(X) $, где $ \Lambda $ -- некоторая мажорирующая матрица. Составить программу ''Phi()'' для функции $ \Phi(X) $, удовлетворяющей сходимости.
-      - Составить программу ''siters()'' для вычисления решения системы уравнений методом простых итераций с заданной точностью $ \varepsilon $.
-      - Провести вычисления по программе для каждого корня. Заполнить табл. 3 при указанных значениях $ \varepsilon $. Сделать выводы.
-      - Для одного из корней заполнить табл. 6 при $ \varepsilon = 0.000001 $. Сделать выводы.
-==== Таблицы ====
-=== Таблица 1 ===
-^  Значение $ \varepsilon $  ^  Значение $ x_1 $  ^  Значение $ x_2 $  ^
-|  0.1  |    |    |
-|  ...  |||
-=== Таблица 2 ===
-^  Значение $ k $  ^  Значение $ x^{(k)} $  ^  Значение $ f(x^{(k)}) $  ^  Значение $ f'(x^{(k)}) $  ^  Значение $ -f(x^{(k)})/f'(x^{(k)}) $  ^
-|  0  |    |    |    |    |
-|  ...  |||||
-=== Таблица 3 ===
-^  Значение $ k $  ^  Значение $ x^{(k)} $  ^  Значение $ \varphi(x^{(k)}) $  ^
-|  0  |    |    |
-|  ...  |||
-=== Таблица 4 ===
-^  Значение $ \varepsilon $  ^  Значение $ \vec r_1 = (x_1, y_1) $  ^  Значение $ \vec r_2 = (x_2, y_2) $  ^
-|  0.1  |    |    |
-|  ...  |||
-=== Таблица 5 ===
-^  Значение $ k $  ^  Значение $ \vec r^{(k)} $  ^  Значение $ f_1(\vec r^{(k)}) $  ^  Значение $ f_2(\vec r^{(k)}) $  ^  Значение $ -J^{-1}(\vec r^{(k)}) \cdot F(\vec r^{(k)}) $  ^
-|  0  |    |    |    |    |
-|  ...  |||||
-=== Таблица 6 ===
-^  Значение $ k $  ^  Значение $ \vec r^{(k)} $  ^  Значение $ \Phi(\vec r^{(k)}) $  ^
-|  0  |    |    |
-|  ...  |||
-===== Варианты заданий =====
-<note important>
-Выполнение работ осуществляется по индивидуальным вариантам заданий (уравнений и систем уравнений). Номер варианта для каждого студента определяется преподавателем.
-</note>
-[[.task3:task3_vars]]
-===== Содержание отчёта =====
-  * Цель работы.
-  * Краткое изложение основных теоретических понятий.
-  * Постановка задачи с кратким описанием порядка выполнения работы.
-  * Графическое или аналитическое решение уравнения. Обоснование выбора начального приближения.
-  * Необходимые рисунки и таблицы с краткими выводами.
-  * Теоретические скорости сходимости методов и их экспериментальное доказательство. Сравнение методов.
-  * Общий вывод по проделанной работе.
-  * Код программы.

se.moevm.info

User Tools

Site Tools

Differences

Page Tools