Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- courses:computational_mathematics:prac4 [2021/01/29 19:17]
andrey.suchkov [Постановка задачи]
+++ courses:computational_mathematics:prac4 [2022/07/04 05:39]
andrey.suchkov removed
@@ Line 1: / Line 1: @@
-====== Практическая работа №4: Алгоритм Ремеза ======
+====== Практическая работа №4: Аппроксимация функций ======
 ===== Цель работы =====
-Освоение и реализация алгоритма Ремеза для построения полиномов наилучшего равномерного приближения средствами GNU Octave.
+Сформировать навыки и умения решения задачи аппроксимации функции с помощью метода наименьших квадратов (МНК) и дискретного преобразования Фурье (ДПФ); освоить реализацию МНК и ДПФ с помощью математического пакета GNU Octave.
-===== Основные теоретические положения =====
-Алгоритм Ремеза (алгоритм замены Ремеза) -- это итеративный алгоритм равномерного аппроксимирования функций $ f \in C[a, b] $, основанный на теореме П. Л. Чебышёва об альтернансе. Предложен Е. Я. Ремезом в 1934 году.
-Теоретической основой алгоритма Ремеза является следующая теорема:
-**Теорема.** //Для того, чтобы некоторый многочлен $ P^*(x) $ степени не выше $ n $ был многочленом, наименее уклоняющимся от $ f \in C[a,b] $, необходимо и достаточно, чтобы на $ [a,b] $ нашлась по крайней мере одна система из $ n + 2 $ точек $ x_i $, $ a \leqslant x_0 < x_1 < \dots < x_{n+1} \leqslant b $, в которых разность $ f(x) - P^*(x) $://
-  - //поочерёдно принимает значения разных знаков,//
-  - //достигает по модулю наибольшего на $ [a,b] $ значения.//
-//Такая система точек называется чебышёвским альтернансом.//
-Пусть $ E_n $ -- величина наилучшего приближения функции $ f(x) $ многочленами степени $ n $. Оценку $ E_n $ снизу даёт следующая теорема:
-**Теорема Валле-Пуссена.** //Если для функции $ f \in C[a,b] $ некоторый многочлен $ P(x) $ степени $ n $ обладает тем свойством, что разность $ f(x) - P(x) $ на некоторой системе из $ n + 2 $ упорядоченных точек $ x_i $ принимает значения с чередующимися знаками, то// \[E_n(f) \geqslant \min|f(x_i) - P(x_i)|.\]
 ===== Постановка задачи =====
-С помощью алгоритма Ремеза найти многочлены наилучшего равномерного приближения 5-й и 10-й степени для функции $ f(x) = \cfrac A{x^2 + px + q} $ на отрезке $ [a, b] $. Значения $ a $, $ b $, $ A $, $ p $, $ q $ берутся из п/р №3.
+Построить набор случайных данных для функции $ f(x) $ на промежутке $ [0, b] $ разбив его на $ n $ участков при параметре зашумления $ fluc $. Аппроксимировать полученные данные с помощью МНК по трём моделям: полиномиальной, экспоненциальной и ДПФ.
 ===== Порядок выполнения работы =====
-  - Реализовать функцию ''f()'' для вычисления значений в функции $ f(x) $.
+  - Реализовать функцию ''f(x)'' для вычисления значений функции $ f(x) $.
-  - Реализовать функцию ''remez()'', выполняющая алгоритм Ремеза.
+  - Реализовать функцию ''mnk()'' для построения модели с помощью МНК.
-  - Построить полиномы 5-ой и 10-ой степени. Для полинома 5-ой степени построить кривые на 1-ой, 2-ой, 3-ей, 4-ой, 6-ой и последней итерации, а для полинома 10-ой степени -- 1-ой, 2-ой, 3-ей, 5-ой, 7-ой, 10-ой и последней итерации. Для сравнения полиномы выводить на графике вместе с функцией $ f(x) $.
+  - Разбить отрезок $ [0, b] $ на $ n $ участков и вычислить значения функции $ f(x) $ для каждого $ x $.
-  - Для каждого из полиномов заполнить таблицу, сделать выводы:
+  - Аппроксимировать полученные данные с помощью функции ''mnk()'' по двум моделям: полиномиальной и экспоненциальной. Построить графики аппроксимационных функций вместе с облаком значений. Вычислить среднеквадратические отклонения для каждой модели. Сделать выводы.
+  - Построить набор случайных данных с параметром зашумления $ fluc $. Рекомендуется использовать следующую функцию (здесь ''stud_num'' -- номер студенческого билета, e.g.: ''stud_num = 130301''): <code octave>
+rand ("state", stud_num)
+x = 0:b/n:b;
+y = f (x) + (2 * rand (1, n) - 1) * fluc;
+</code>
+  - Аппроксимировать полученные данные с помощью функции ''mnk()'' по трём моделям: полиномиальной, экспоненциальной и ДПФ. Построить графики аппроксимационных функций вместе с облаком значений. Вычислить среднеквадратические отклонения для каждой модели. Сделать выводы.
+  - Изменить коэффициент при $ x $ так, чтобы функция $ f(x) $ стала периодической, т.е. $ f(0) = f(b) $. Реализовать периодическую функцию ''f_T(x)''.
+  - Построить набор случайных данных по подвергнутой периодизации функции $ f_T(x) $.
+  - Аппроксимировать полученные данные с помощью функции ''mnk()'' с помощью ДПФ. Построить графики аппроксимационных функций вместе с облаком значений. Вычислить среднеквадратические отклонения для каждой модели. Сравнить результаты аппроксимации с непериодической функцией $ f(x) $, сделать выводы.
-^  Номер шага  ^  Значение $ \sigma $  ^  Значение $ R_{\max} $  ^  Значение $ \varepsilon $  ^
+===== Варианты заданий =====
-|  1  |    |    |    |
+<note important>
-|  2  |    |    |    |
+Выполнение работ осуществляется по индивидуальным вариантам заданий (функции и параметры). Номер варианта для каждого студента определяется преподавателем.
-|  ...  ||||
+</note>
+[[.task4:task4_vars]]
-===== Содержание отчёта =====
-  * Цель работы.
-  * Краткое изложение основных теоретических понятий.
-  * Постановка задачи с кратким описанием порядка выполнения работы.
-  * Графики интерполяционных многочленов и их вид.
-  * Таблицы для оценки погрешности.
-  * Общий вывод по проделанной работе.
-  * Код программы.

se.moevm.info

User Tools

Site Tools

Differences

Page Tools