Исследование обусловленности задачи нахождения корня уравнения на примере линейной функции.

Под обусловленностью вычислительной задачи понимают чувствительность ее решения к малым погрешностям входных данных.

Задачу называют хорошо обусловленной, если малым погрешностям входных данных отвечают малые погрешности решения, и плохо обусловленной, если возможны сильные изменения решения. Количественной мерой степени обусловленности вычислительной задачи является число обусловленности, которое можно интерпретировать как коэффициент возможного возрастания погрешностей в решении по отношению к вызвавшим их погрешностям входных данных. Пусть между абсолютными погрешностями входных данных $x$ и решения $y$ установлено неравенство: \[ \Delta(y^*) \leqslant \nu_{\Delta}\Delta(x^*), \] где $ x^* $ и $ y^* $ – приближённые входные данные и приближённое решение соответственно. Тогда величина $ \nu_{\Delta} $ называется абсолютным числом обусловленности.

Если же установлено неравенство \[ \delta(y^*) \leqslant \nu_{\delta}\delta(x^*), \] между относительными ошибками данных и решения, то величину $ \nu_{\delta} $ называют относительным числом обусловленности. Для плохо обусловленной задачи $ \nu \gg 1 $. Грубо говоря, если $ \nu = 10^N $, где $ \nu $ – относительное число обусловленности, то порядок $ N $ показывает число верных цифр, которое может быть утеряно в результате по сравнению с числом верных цифр входных данных.

Ответ на вопрос о том, при каком значении $ \nu $ задачу следует признать плохо обусловленной, зависит, с одной стороны, от предъявляемых требований к точности решения и, с другой, – от уровня обеспечиваемой точности исходных данных. Например, если требуется найти решение с точностью 0.1%, а входная информация задается с точностью 0.02%, то уже значение $ \nu = 10 $ сигнализирует о плохой обусловленности. Однако, при тех же требованиях к точности результата, гарантия, что исходные данные задаются с точностью не ниже 0.0001%, означает, что при $ \nu = 10^3 $ задача хорошо обусловлена.

Если рассматривать задачу вычисления корня уравнения $ y = f(x) $, то роль числа обусловленности будет играть величина \[ \nu_{\Delta} = \frac1{|f'(\bar x)|}, \] где $ \bar x $ – корень уравнения.

Используя программы-функции bisect и Round из файла condition.m, исследовать обусловленность задачи нахождения корня уравнения $ f(x) = 0 $ для линейной функции $ f(x) = c(x - d) $. Значения функции $ f(x) $ следует вычислить приближенно с точностью delta, варьируемой в пределах от 0.1 до 0.000001.

1. Графически или аналитически отделить корень уравнения $ f(x) = 0 $, т.е. найти отрезки $ [a, b] $, на которых функция удовлетворяет условиям применимости метода бисекции.
2. Составить подпрограмму вычисления функции $ f(x) = c(x - d) $ для параметров $ c $ и $ d $, вводимых с клавиатуры. Предусмотреть округление вычисленных значений функции $f(x)$ с использованием программы-функции Round с точностью delta, также вводимой с клавиатуры.
3. Составить головную программу, вычисляющую корень уравнения с заданной точностью epsilon и содержащую обращение к подпрограмме F, программам-функциям bisect, Round и представление результатов.
4. Провести вычисления по программе, варьируя значения параметров c (тангенс угла наклона прямой), epsilon (точность вычисления корня) и delta (точность задания исходных данных).
5. Проанализировать полученные результаты и обосновать выбор точности epsilon вычисления корня. Сопоставить полученные теоретические результаты с экспериментальными данными.

• Цель работы.
• Краткое изложение основных теоретических понятий.
• Постановка задачи с кратким описанием порядка выполнения работы.
• Таблицы с вычислениями при различных вариациях параметров.
• Краткие выводы по полученным результатам.
• Общий вывод по проделанной работе.
• Код программы.

condition.m

## TASK2
## Studying the concept of conditionality 
## of a computational problem
format long g
 
function [x, k] = bisect (a, b, c, d, epsilon, delta)
  Eps = abs (epsilon) * 2;
  fa = f (a, c, d, delta);
  fb = f (b, c, d, delta);
  k = 0;
 
  if (fa * fb > 0)
    error ("\aInvalid interval setting!!!\n")
  endif
 
  if (epsilon <= 0)
    error ("\aInvalid accuracy setting!!!\n")
  endif
 
  if (fa == 0)
    x = fa;
    return
  endif
 
  if (fb == 0)
    x = fb;
    return
  endif
 
  while (b - a >= Eps)
    x = 0.5 * (a + b);
    y = f (x, c, d, delta);
 
    if (y == 0)
      return
    elseif (y * fa < 0)
      b = x;
    else
      a = x;
      fa = y;
    endif
 
    k++;
  endwhile
endfunction
 
function y = f (x, c, d, delta)
  s = c * (x - d);
  S = s / delta + ifelse (s / delta < 0, -0.5, 0.5);
 
  s = S * delta;
  y = Round (s, delta);
endfunction
 
function r = Round (x, delta)
  if (delta <= 1e-9)
    error ("\aInvalid setting of rounding precision!!!\n")
  endif
 
  r = delta * (x / delta + merge (x > 0, 0.5, -0.5));
endfunction
 
## Begin script
epsilon = input ("Enter 'eps': ");
c = input ("Enter 'c': ");
d = input ("Enter 'd': ");
a = input ("Enter 'a': ");
b = input ("Enter 'b': ");
delta = input ("Enter 'delta': ");
[x, k] = bisect (a, b, c, d, epsilon, delta);
printf ("\nx = %.14f,\tk = %u\n", x, k), format short