Освоение и реализация алгоритма Ремеза для построения полиномов наилучшего равномерного приближения средствами GNU Octave.

С помощью алгоритма Ремеза найти многочлены наилучшего равномерного приближения 5-й и 10-й степени для функции $ f(x) = \cfrac A{x^2 + px + q} $ на отрезке $ [a, b] $. Значения $ a $, $ b $, $ A $, $ p $, $ q $ берутся из п/р №2.

1. Реализовать функцию f() для вычисления значений в функции $ f(x) $.
2. Реализовать функцию remez(), выполняющая алгоритм Ремеза.
3. Построить полиномы 5-ой и 10-ой степени. Для полинома 5-ой степени построить кривые на графике и указать их вид для 1-ой, 2-ой, 3-ей, 4-ой, 6-ой и последней итерации, а для полинома 10-ой степени – для 1-ой, 2-ой, 3-ей, 5-ой, 7-ой, 10-ой и последней итерации. Для сравнения полиномы выводить на графике вместе с функцией $ f(x) $.
4. Для каждого из полиномов заполнить таблицу ниже и сделать выводы (здесь $ \sigma $ – уровень квазиальтернанса; $ R_{\max} $ – глобальный максимум погрешности; $ \varepsilon $ – точность выравнивания; $ i_{after} $ – номер той точки квазиальтернанса, за которой идёт точка максимума):

Примечание: коэффициенты многочлена необходимо выводить в формате long g; все остальные значения – в формате short g.

Оценить фактическую точность выравнивания. Формально мы добиваемся исчерпывания машинной точности, но максимумы ищутся лишь по точкам графиков. Предлагается для каждой точки квазиальтернанса, за исключением совпадающих с концами отрезка (если такие есть), построить квадратичный интерполяционный многочлен с шагом графика для погрешности и найти максимум его модуля. Хорошую оценку фактической точности выравнивания будет давать отношение минимального из этих максимумов к максимальному (включая значения на концах, если они входят в квазиальтернанс).