Инструменты пользователя

Инструменты сайта


courses:system_analysis_modeling_and_optimization:task1

Практическая работа №1: Моделирование и исследование случайных величин и последовательностей

Цель работы

Напоминание свойств и способа построения случайной величины, освоение её моделирования.

Основные теоретические положения

Случайная величина – величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.

Примеры случайных величин:

  1. число попаданий при трех выстрелах;
  2. угол, под которым упадет подброшенная монетка.

Случайная величина может быть дискретной или непрерывной.

Дискретная случайная величина – случайная величина, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

Пример:

  1. Вероятность, что на кубике выпадет число 1: $$\mathbb P(A = 1) = \frac16.$$
  2. Вероятность, что на кубике выпадет число 2 или 4: $$\mathbb P(A = 2 \lor A = 4) = \frac16 + \frac16 = \frac13.$$

Непрерывная случайная величина – случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

В отличие от дискретных случайных величин вероятность отдельного значения для непрерывной случайной величины равна нулю (так как множество возможных исходов бесконечно):$$\mathbb P(A = c) = 0,$$ для любого $c$ множества действительных чисел.

Поэтому вводят вероятность случайной величины быть меньше указанного значения. Полученную функцию называют функцией распределения:$$F_A(t) = \mathbb P(A < t).$$

Пример:

  1. Вероятность угадать загаданное вещественное число в интервале $[0, 1]$ равна 0.
  2. Вероятность того, что загаданное вещественное число будет лежать в интервале $[0, t]$, $t \in (0, 1)$, если оно было загадано на интервале $[0, 1]$, будет равна $t$.

Над случайными величинами можно выполнять арифметические операции. Результатом такой операции будет новая случайная величина со своей функцией распределения.

Дано: Случайная величина, и ее функция распределения:$$X \sim F_X(t).$$ Другая случайная величина получена от первой воздействием некоторой функции: $$Y = g(X).$$ Найти: Функцию распределения случайной величины $Y$.
Решение: По определению функция распределения случайной величины $Y$:$$F_Y(t) = \mathbb P(Y < t).$$ По условию определено, каким образом связаны случайные величины $X$ и $Y$, значит $$\mathbb P(Y < t) = \mathbb P(g(X) < t).$$ При взятии под скобками от обоих частей неравенства функцию, обратную $g$, неравенство не изменится. Следовательно,$$\mathbb P(g(X) < t) = \mathbb P(X < g^{-1}(t)).$$ Получена связь функций распределений двух случайных величин:$$F_Y(t) = F_X(g^{-1}(t)).$$

Постановка задачи

Пользуясь датчиками, генерирующими последовательность случайных чисел, распределенных по равномерному закону, смоделировать:

  1. Случайную величину, распределенную по равномерному случайному закону на интервале $[0, \alpha]$, где $\alpha$ – заданный параметр:Плотность равномерно распределенной случайной величины на отрезке [a, b]
  2. Случайную величину, распределенную по показательному закону с параметром $\lambda$:Плотность случайной величины, распределенной по показательному закону с параметром λ
  3. Случайную величину, распределенную по треугольному закону с параметрами $a = 0$, $b = \beta$, $c = 0$, где $\beta$ – заданный параметр:Плотность случайной величины, распределенной по треугольному закону с параметрами a, b, c

У полученных случайных величин построить гистограммы, рассчитать математическое ожидание и дисперсию.

Порядок выполнения работы

  1. Используя пакет GPSS или другие программные средства составить программу для исследования стандартных датчиков псевдослучайных (далее случайных) чисел с квазиравномерным (далее равномерным), экспоненциальным и треугольным законами распределения. Оцениваемые параметры: математическое ожидание и СКО случайных чисел и качественная оценка плотности распределения.
  2. Выбрать объем выборки, исходя из заданной точности оценки математического ожидания и СКО, и провести моделирование.

Варианты заданий

№ варианта Параметр $\alpha$ Параметр $\lambda$ Параметр $\beta$
1 70 1/150 90
2 110 1/20 170
3 130 1/130 170
4 200 1/190 120
5 70 1/180 90
6 180 1/190 200
7 10 1/50 170
8 20 1/200 190
9 60 1/200 140
10 200 1/90 190
11 20 1/150 70
12 110 1/130 110
13 80 1/100 110
14 130 1/50 80
15 90 1/50 160
16 190 1/130 80
17 170 1/40 200
18 130 1/60 20
19 70 1/190 30
20 110 1/190 140
21 120 1/110 30
22 80 1/110 190
23 40 1/200 180
24 100 1/120 10
25 60 1/170 10
26 100 1/200 160
27 80 1/40 10
28 20 1/160 110
29 160 1/60 130
30 200 1/110 20

Содержание отчёта

  • Цель работы.
  • Краткое изложение основных теоретических понятий.
  • Постановка задачи с кратким описанием порядка выполнения работы.
  • Результаты моделирования с использованием программы.
  • Необходимые рисунки и таблицы с краткими выводами.
  • Общий вывод по проделанной работе.
  • Код программы.

Пример выполнения задания

task1.GPS
10          SIMULATE             
20          RMULT        15,900,28
30          GENERATE     1
40 E1       FVARIABLE    -50#LOG((RN1+1)/1000)
50 E2       FVARIABLE    (RN2+1)
60 E3       FVARIABLE    300#(1-1#SQR((RN3)/1000))
70 TAB1     TABLE        V$E1,50,50,20
80 TAB2     TABLE        V$E2,50,50,20
90 TAB3     TABLE        V$E3,50,50,20
100         TABULATE     TAB4
110         TABULATE     TAB3
120         TABULATE     TAB2
130         TABULATE     TAB1
140         TERMINATE    1
150         START        1000